Работа с путями (path) в photoshop (часть 1)

Альтернативные методы

Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.

Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.

При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:

• от выбранной точки пространства рисуется вектор, равняющийся первому слагаемому;
• от конечной точки откладывается вектор, совпадающий со вторым слагаемым;
• приведённая последовательность потеряется необходимое число раз;
• прямой линией соединяется точка, с которой началось построение с конечной последнего вектора;
• длина полученного отрезка и будет являться результатом сложения.

Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.

Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.

Преобразование в кривые (Flatten Selection)

Обычно эту операцию использую в последнюю очередь для запекания результата перед экспортом в SVG. Это позволяет оптимизировать количество точек и тем самым сэкономить драгоценное место на диске, ведь чем меньше места занимает иконка, тем быстрее она загрузится при просмотре странички, в которой она будет использована.

В результате получается объединение всех элементов в одну фигуру с последующим переводом объектов в кривые. То есть мы больше не сможем менять содержимое группы таким же образом как в “Union Selection”. Элементы нашей группы переведены в кривые, и мы можем редактировать их форму только с помощью кривых.
Пример:

Умножение вектора на число

Предположим, что нам надо сложить два равных вектора. В результате мы получим новый вектор, который будет сонаправлен с исходным, но его длина будет вдвое больше. Логично считать, что получившийся вектор вдвое больше исходного, то есть он получился при умножении вектора на число 2:

Аналогично можно построить вектора, которые больше исходного не в 2, а в 3,4 и т. д. раз:

Итак, чтобы умножить вектор на положительное число k, надо построить сонаправленный с ним вектор, длина которого в k раз больше.А как умножать вектор на отрицательное число? Здесь нужно использовать противоположный вектор. Логично считать, что он получается при умножении (– 1) на вектор. Зная это, легко умножать вектор и на другие отрицательные числа:

Естественно, что если вектор умножается на ноль, то в результате получается нулевой вектор.

Задание. На рисунке показаны вектора а и b. Найдите вектора

Решение. Для построения снам надо сначала умножить исходные вектора на 4 и 2, а далее полученные результаты сложить:

Для нахождения вектора d надо построить вектор, противоположный вектору 2b, и уже его складывать с 4a:

Наконец, для нахождения вектора е необходимо построить противоположный вектор уже для 4а:

Некоторые правила обычной алгебры, касающиеся операции умножения, справедливы и для векторов. Первый такое правило – это сочетательный закон:

Видно, что мы можем либо сразу умножить вектор а на число 12, либо сначала его умножить на 4, а потом на 3. Результат операции при этом не изменится.

Также в отношении операции умножения векторов на число справедлив распределительный закона, которые позволяют раскрывать скобки:

Например, пусть нам надо сложить вектора 2а и 3а. Распределительный закон говорит, что мы можем поступить двумя способами. В первом случае мы просто строим вектора 2а и 3а и складываем их. Во втором случае мы складываем только числа 2 и 3 (получаем 5), и далее уже умножаем вектор а на число 5:

Есть ещё один распределительный закон, в котором в скобках находится уже сумма векторов, а не чисел:

Этот закон можно применить в случае, когда нам необходимо, например, сложить вектора 4а и 4b. Конечно, можно просто построить их и сложить, однако закон говорит, что мы можем сначала сложить aи b, и уже потом эту сумму умножить на 4:

Сформулированные нами законы сложения и умножения векторов позволяют выполнять действия с векторами так же, как с числами. В том числе можно упрощать выражения, содержащие векторные величины. Например, пусть известны вектора а, b и с, и надо найти вектор

Видно, что выражение значительно упростилось.

Работа с векторным текстом в фотошопе

Использование текста в Photoshop довольно очевидно. Выберите Инструмент горизонтального текста (T), нажмите на изображение холста, чтобы создать текстовое поле, а затем введите. Вы можете настроить шрифт, размер, вес и все остальное, как в любом другом приложении.

Для обычного текста установите цвет заливки, но не обводку. Применяйте обводку только для сильно стилизованного текста.

Когда вы закончите, вы можете преобразовать текст в векторный объект. Выделите текст и перейдите к Тип> Преобразовать в форму. Это позволяет вам получить доступ к точкам привязки для каждого персонажа, так что вы можете настроить их индивидуально. Это удобно для изменения цвета одной буквы или изменения внешнего вида шрифта.

После преобразования текст перестает редактироваться. Рекомендуется дублировать, а затем скрыть исходный текстовый слой на тот случай, если вам понадобится резервная копия.

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае мы воспользуемся
теоремой косинуса.
Давайте вспомним её формулировку.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Тогда, чтобы найти длину , необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины и , знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Длины и равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен Вычислите длину

Решение:

Объединить и объединить векторные фигуры

Для еще более сложных форм, вы можете использовать Путь Операции. Это позволяет объединять несколько фигур в новые.

Начните с рисования фигуры на холсте. Далее нажмите Путь Операции Кнопка на панели параметров в верхней части экрана. Обычно каждый новый путь или фигура идет на свой слой. Измените это, нажав Объединить формы.

Теперь нарисуйте другую форму. Это будет на том же слое, что и ваша первая фигура. Когда вам нужно переместить объекты по отдельности, используйте Инструмент выбора пути.

Перетащите вторую фигуру так, чтобы она перекрывала первую. Эти два сливаются в одну форму, хотя они остаются как отдельные объекты. Нажмите Объединить компоненты формы в Путь Операции объединить их в один объект.

Использовать Инструмент выбора пути выбрать вторую фигуру, которую вы нарисовали. Сейчас в Путь Операции выбирать Вычесть переднюю форму. Форма теперь удалена вместе с областью, где она перекрывается с первой формой.

Выделите обе формы. В Путь Операции Выбрать Пересекаются области формы. Это удаляет обе формы, кроме областей, где они перекрываются. Мы используем эту опцию, чтобы создать полукруг.

Наконец, выделите обе фигуры и выберите Исключить перекрывающиеся фигуры. Это удаляет область, где две фигуры перекрываются, и оставляет все остальное в такте.

Эти инструменты являются эффективным способом создания новых фигур, а также разделения или вырезания частей из существующих. Они также работают с Pen Tool и Text.

Длина вектора

Длина вектора — это одно число, которое измеряется расстоянием от кончика до стрелки вектора. Длину вектора нельзя путать с координатами. Координаты — это несколько чисел, которые указывают на расположение стрелки вектора. По координатам можно определить только конечную точку вектора. Например, если X = (6, 2), то стрелка будет находиться в точке 6 по оси Х. Или другой пример: если Y = (6, 5), то стрелка этого вектора будет находиться в точке 5 по оси Y.    

Предположим, нам известны начальные точки векторов X и Y. Пусть это будет точка 2 по оси X и точка 2 по оси Y. Так мы можем легко посчитать длину отрезков: 

Иногда приходится рассчитывать длину третьего вектора, который привязан к двум другим векторам. Это легко сделать с помощью теоремы Пифагора — это когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катетами будут длины векторов X и Y. Вспоминаем школьную формулу и считаем:

Длина вектора считается по формуле прямоугольного треугольника. Чтобы было проще представить — перенесите векторы на систему координат

Это формула для двумерного пространства. В трёхмерном пространстве формула похожая: нужно сложить квадраты трёх координат и вычислить квадратный корень из суммы. 

В пространстве с большим числом измерений формула выглядит сложнее, но по сути то же: складываем все квадраты координат и получаем квадратный корень из этой суммы.

Строим контур с помощью Пера

Для начала давайте посмотрим, как можно создать контур, взяв перо, и для чего это нужно. Следуем инструкциям на скриншотах:

Для того, чтобы получить контур, нам нужно поставить опорные точки и направляющие (лучи – так короче). Направляющие помогут нам деформировать требуемые участки, расположенные между 2-мя опорными точками.

1. Берем перо и устанавливаем опорную точку #1.

2. Пришло время поставить 2-ую опорную точку. После того как выбрали место для второй точки и кликнули мышкой, не отпускайте ее. Тянем направляющую (луч) в нужном вам направлении. Все зависит от того, в какую сторону вы хотите изгибать участок.
   Следующий луч можно не трогать и изгиб будет установлен по умолчанию.
   Заранее, перед тем, как вы поставите точку, можно  посмотреть, как именно контур будет изгибаться. Для этого нужно в вернем меню установить галочку в графе “Просмотр”. См. скриншот ниже:
   Если вы не хотите получить изгиб в следующем отрезке, нужно зажать клавишу ALT и потянуть направляющую (луч) в обратную сторону, к точке #2. После этого лучше пропадет, если вы все сделали правильно.

   Есть и другой метод получит изгиб контура: устанавливаем 2 точки, без предустановленного изгиба. После устанавливаем еще одну точку между ними. Зажав CTRL просто тянем в желаемую сторону, создавая тем самым изгиб.

3. Для работы по перемещению точки в контуре, всегда нужно держать зажатой клавишу CTRL. В случае с направляющими (лучами) нужно зажимать ALT.
4. Замыкается контур лишь в момент установки финальной точки поверх самой первой опорной точки.

Логические операции с контурами. Палитра Pathfinder.

В программе Illustrator можно комбинировать векторные объекты, создавая фигуры разными способами. Получившиеся контуры или фигуры различаются в зависимости от способа комбинирования контуров.

Эффекты обработки контуров

Эффекты обработки контуров позволяют комбинировать разные объекты с помощью одной из десяти моделей взаимодействия. В отличие от составных фигур, редактировать взаимодействие объектов при использовании эффекта обработки контуров нельзя.

Составные фигуры

Составные фигуры позволяют комбинировать объекты и указывать, как каждый из них должен взаимодействовать с другими объектами. Составные фигуры являются более гибким средством, чем составные контуры, поскольку обеспечивают четыре способа взаимодействия: сложение, вычитание, пересечение и исключение. Кроме того, нижние объекты не изменяются, что позволяет выбирать каждый объект в составной фигуре для редактирования или изменения его режима взаимодействия.

Составные контуры

Составные контуры позволяют использовать объекты для создания отверстий в других объектах. Например, можно создать кольцо из двух вложенных кругов. После создания составного контура контуры ведут себя как сгруппированные объекты. Можно выбрать объекты и управлять ими по отдельности с помощью инструментов «Частичное выделение» или «Групповое выделение», а также выбрать и редактировать составной контур.

Как сделать контур текста в Фотошопе

Начнем мы с того, что сделаем контур для текста в Фотошопе
. У Вас может быть изображение, на котором написан текст, или можете создать текст сами, выбрав подходящий размер и шрифт.

Я написала следующий текст, с помощью инструмента «Horizontal Type Tool»
, и выбрала для него настройки, какие подчеркнуты на рисунке ниже.

В настройках инструмента выбираем значение «Tolerance»
(Допуск) – выделяет область с похожими по цвету пикселями, и убираем галочку напротив «Contiguous»
(Смежные пиксели). Убрав галочку, можно будет выделить сразу все пиксели похожего цвета на всем изображении, даже если области с похожим цветом расположены в различных местах.

Кликаем Волшебной палочкой по тексту. В результате, он будет выделен. Если бы мы оставили галочку напротив «Contiguous»
(Смежные пиксели), то выделилась бы только одна буква, по которой мы кликнули, и пришлось бы кликать по каждой букве, чтобы выделить ее.

Теперь давайте обведем текст. Наведите курсор на выделенную область и кликните по ней правой кнопкой мыши. Выберите из контекстного меню «Make Work Path»
(Образовать рабочий контур).

В следующем окне задайте значение допуска «Tolerance»
и нажмите «ОК»
.

Текст будет обведен тонкой линией. Чтобы ее увидеть, на панели слоев скройте слой, на котором написан текст – уберите глазик напротив него.

Делаем обратно слой с текстом видимым. Теперь нужно создать новый слой. Для этого на панели слоев кликните на кнопочку «Create a new layer»
(Создать новый слой).

Оставляем выделенным созданный слой «Layer 1»
.

Сделать контур в Фотошопе можно, используя различные инструменты: «Brush Tool»
(Кисть), «Eraser Tool»
(Ластик), «Smudge Tool»
(Палец) и прочие. Но перед тем как его сделать, нужно настроить необходимые параметры для инструмента.

Мы будем создавать контур, используя «Brush Tool»
(Кисть). Поэтому, выбираем ее на панели инструментов, и задаем желаемые параметры. Я выбрала жесткую кисть с размером 7 салатового цвета.

После этого, на панели инструментов выберите «Path Selection Tool»
(Выделение контура).

Кликните мышкой внутри выделенного контура и выберите из меню «Stroke Path»
(Выполнить обводку контура).

В следующем окне из выпадающего списка выбираем инструмент, которым будем делать контур. Выбирайте тот инструмент, который Вы настраивали на предыдущем шаге. У меня это «Brush Tool»
(Кисть). Нажмите «ОК»
.

Контур текста будет обведен. В примере, кистью салатового цвета.

Чтобы удалить тонкую серую линию, которой изначально был обведен текст, нажмите «Backspace»
. На рисунке через светлый контур просвечивается темная полоска – это уберет ее.

На этом все – мы сделали контур для текста в Фотошопе.

Для данного примера это делается так: разблокируйте слой «Background»
, удалите слои «Background»
и «сайт»
, сохраните изображение в формате *.png
или *.gif
.

Сложение и вычитание векторов

Способов и методов сложения векторов всего два. Существует и третий, но его не считают отдельным методом, так как он вытекает из первых двух. Но мы его рассмотрим отдельно, чтобы не возникало вопросов при дальнейшем изучении темы.

Правило многоугольника

Для того, чтобы сложить векторы правилом многоугольника, необходимо параллельным переносом совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго с началом третьего и так далее, пока не кончатся векторы, которые необходимо сложить.

После этого нужно начало первого вектора соединить с концом последнего последнего вектора и указать направление. Получившийся вектор будет направлен в сторону последнего из участвовавших в сложении.

Складывать таким способом можно любое количество векторов. Если так складывается только два вектора, то способ называют правилом треугольника

Нужно понять и запомнить, что у отрезка одна определяющая величина: размер. У вектора определяющих величин две: размер и направление. Поэтому нельзя менять направление вектора и его размер. Любые действия нужно осуществлять с помощью параллельного переноса, то есть без изменения направления.

Рис. 2. Правило многоугольника.

Правило параллелограмма

Правило параллелограмма сложнее, его можно применять только для 2 векторов. Если вам нужно этим способом сложить большее количество векторов, например, три, то действие выполняют в следующем порядке:

• Складывают два любых вектора правилом параллелограмма. Результатом будет некий вектор и у нас остается еще один, который в сложении не участвовал.
• Получившийся и оставшийся векторы складывают по тому же правилу.
• Этот процесс можно повторять столько раз, сколько требуется по условию задачи.

Само правило параллелограмма заключается в том, что начала двух векторов совмещаются. После этого получившуюся фигуру достраивают до параллелограмма. Диагональ, которая выходит из начала двух векторов и есть результат сложения. Вектор должен быть направлен в противоположную сторону от совмещенного начала двух векторов.

Для того чтобы вычесть векторы любым способом, направление вектора, который является вычитаемым, меняют на противоположное. Получившиеся векторы складывают любым из методов.

Рис. 3. Правило многоугольника.

Сложение в декартовой системе

В декартовой системе все векторы раскладывают на проекции, после чего отрезки проекций складывают: проекции на ось Ох отдельно, на ось Оу отдельно. После из получившихся двух проекций снова собирают вектор.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое вектор. Поговорили о правилах сложения и вычитания векторов. Обсудили, чем отличается вектор от луча и обсудили метод действий с векторами в декартовой системе координат.

1. /10

   Вопрос 1 из 10

Рисование векторов с помощью инструмента «Перо»

Если у вас есть опыт работы с Illustrator, вы будете знать, что используете инструмент Paintbrush для рисования от руки. В Photoshop есть Brush Tool, который выполняет аналогичную работу. Но в Photoshop этот инструмент не основан на векторах, поэтому его не следует использовать для рисования. Вы должны использовать Pen Tool вместо.

Pen Tool — одна из самых мощных функций в Photoshop. Вы будете часто использовать его для редактирования фотографий в Photoshop.

, поскольку он позволяет создавать очень точные выборы. Это также отлично подходит для рисования и векторной графики.

Начните с Pen Tool

Pen Tool работает путем рисования пути между опорными точками, которые вы создаете, когда нажимаете на холст. Добавьте обводку к пути, и вы можете нарисовать контур; добавить заливку, и вы можете нарисовать твердый объект. Для получения дополнительной информации, ознакомьтесь с нашим полным руководством по использованию Pen Tool.

,

Вот краткое руководство, чтобы вы начали:

1. Выберите Pen Tool (P). Нажмите на изображение холста, чтобы опустить точку привязки.
2. Переместите курсор на несколько дюймов и нажмите еще раз, чтобы опустить другую опорную точку. Будет создан путь для соединения двух. Установите мазок 5px, черный, чтобы лучше видеть его.
3. Нажмите еще несколько раз, чтобы разработать путь. Нажмите и перетащите, чтобы создать изогнутый путь. Это также добавит рули к точке крепления. Перетащите их, чтобы контролировать угол и глубину кривой.
4. Нажмите Войти чтобы создать открытый путь (линию), или щелкните первую опорную точку, чтобы создать замкнутый путь (фигуру).

Что делает Pen Tool настолько полезным, что вы можете вернуться и отредактировать свою форму в любое время:

• Получить Инструмент прямого выбора (A). Выберите опорную точку на пути и перетащите ее на новую позицию. Используйте этот инструмент вместе с рулем якорной точки для редактирования кривой.
• Выберите Добавить опорную точку нажав и удерживая инструмент Pen Tool. Щелкните где-нибудь на пути, чтобы вручную добавить новую опорную точку, затем перетащите ее на место. Это позволяет вам точно настроить свою форму.

Три инструмента Pen

Фотошоп предлагает три разных ручки для рисования.

Pen Tool по умолчанию и наиболее гибкий вариант. Для начинающих мы рекомендуем использовать это в первую очередь для рисования прямых линий. Когда вы станете более продвинутым, вы можете использовать его для всего.

Freeform Pen Tool позволяет рисовать от руки, аналогично инструменту кисти. Он по-прежнему создает путь, который вы можете настроить и отредактировать позже. Точки привязки генерируются автоматически при рисовании. Это отличный инструмент, если вы используете графический планшет

,

Инструмент Кривизна Pen позволяет легко рисовать кривые без необходимости играть с рулем, как с помощью основного инструмента «Перо».

Обводка текста по контуру

Возможности настройки инструмента «Кисть» в «Фотошопе» очень богатые, ведь можно регулировать интервалы, текстуру, динамику формы и цвета и т.д. При этом от рисования вручную эта линия будет отличаться максимальной точностью, и времени данный процесс займет гораздо меньше.

Для обводки текста его слой нужно сначала выделить, а затем преобразовать — как обычную область выделения — в контур. После создания нового слоя можно экспериментировать и рисовать по линии любой кистью с любыми настройками. Не забывайте, что в художественных целях к получившейся обводке, как к обычному слою, можно применять различные эффекты, размещать его над или под текстом, менять его прозрачность и т. д.

Описанные выше два способа обводки не взаимозаменяют, а взаимодополняют друг друга. Преимущество первого в том, что линию можно регулировать и затем возвращаться к регулировке, а также копировать и применять к другим слоям, в том числе в других файлах. Преимущество второго — в том, что обводка в «Фотошопе» будет выглядеть более художественно, так как в выборе кистей нет никаких ограничений.

Весь прошлый урок мы рисовали фигуры, выбирая на панели параметров режим «Слой-фигура», сегодня рассмотрим два остальных режима —
«Контуры» и «Заливка пикселов».

Контуры

Линия, ограничивающая фигуру, представляет собой контур.
Рабочий контур — это временный контур, который появляется на панели «Контуры» и определяет границы
фигуры.

Контуры можно использовать несколькими способами:

• Контуры можно использовать в качестве векторной маски, чтобы скрыть отдельные области слоя.
• Контур можно преобразовать в выделенную область.
• Контур можно залить или обвести произвольным цветом.

В нижней части панели находятся кнопки, за которыми закреплены наиболее полезные команды работы с контурами:

Выполнить заливку контура основным цветом.

Выполнить обводку контура.

Загрузить контур как выделенную область.

Сделать из выделенной области рабочий контур.

Создать новый контур.

Удалить активный контур.

Итак, вы нарисовали контур, теперь щелкните по иконке -выполнить заливку контура основным цветом- и вот ваш контур похож на фигуру.
Попробуйте в деле и другие кнопки панели «Контуры».

Теперь посмотрите на верхнюю часть панели и щелкните по трем параллельным черточкам:

Здесь можно выбрать инструмент для обводки контура. Аналогично можно настроить и заливку контура в соответствующем пункте меню.

На самом деле основным инструментом для работы с контурами является «Перо», это очень полезный инструмент и ему посвящен следующий урок.

Заливка пикселов

В этом режиме фигура рисуется, растрируется и заливается основным цветом.
Растровые фигуры создаются с использованием текущего основного цвета и их нельзя редактировать как векторный объект.

1. Выберите слой на котором будете рисовать.
2. Выберите на панели инструментов желаемый основной цвет.
3. Выберите инструмента «Фигура» на панели инструментов.
4. Выберите на панели параметров режим «Заливка пикселов», остальные параметры по желанию.
5. Растяните мышкой фигуру на холсте.

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем изучать программу Photoshop и ее возможности. Сегодняшний урок относится к базовому разделу. Все будет легко и просто. Однако, благодаря этому навыку вы уже сможете выполнять интересные действия к примеру, создавать неплохие коллажи, делать красивые надписи и даже научитесь рисовать силуэты.

Сегодня я расскажу вам как в фотошопе сделать контур. Мы поработаем с изображениями, научимся делать рамки по краям картинок и выполнять обводку текста. Надеюсь, вы уже умеете работать с выделением сложных объектов. Этот навык очень пригодится сегодня. Если нет, советую начать с другой публикации из моего блога.

Однако, что-то я забегаю вперед. Давайте переходить к каждому моменту постепенно. Возможно, это и не понадобится для решения конкретной задачи. Начнем с простых рамок, для которых от вас не потребуется ничего, кроме исходного изображения.

Рисование нестандартных векторных фигур

Наконец, инструмент Custom Shape Tool . Задайте цвета заливки и обводки, затем щелкните параметр « Форма» на панели параметров. Здесь вы можете выбрать одну из бесчисленных предустановленных пользовательских форм, которые предоставляет Photoshop.

Чтобы добавить больше фигур помимо начального выбора, щелкните шестеренку « Параметры» и выберите категорию для добавления. Существуют формы для любого использования – значки, пузыри речи, стрелки, текстуры и многое другое. Вы также можете загружать сторонние фигуры.

Щелкните и перетащите, чтобы добавить фигуру к изображению. Вы также можете щелкнуть холст, чтобы указать точную ширину и высоту.

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a→и b→есть сумма векторов a→ и — b→.

Правило параллелограмма

По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.

Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.

Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.

Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .
2. Свойство ассоциативности сложения .
3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.
4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.
5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.
6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.
7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Пример.

Упростите выражение, содержащее векторы .

Решение.

Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим .

В силу сочетательного свойства умножения имеем .

Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые , а по первому распределительному свойству имеем .

А теперь запишем кратко: .

Ответ:

.

Список литературы.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

Некогда разбираться?